Furstenberg 和集猜想的组合证明

我们给出 Furstenberg 一个和集猜想的新证明，该猜想最初由 Hochman 和 Shmerkin 于 2012 年证明：若 $\log r / \log s$ 为无理数，且 $X$ 和 $Y$ 分别为 $[0,1]$ 中 $\times r$- 和 $\times s$-不变的子集，则 $\dim_\text{H} (X+Y) = \min ( 1, \dim_\text{H} X + \dim_\text{H} Y)$。我们的主要结果在固定尺度下，对紧参数集上 $\lambda X + \eta Y$ 和集的大小给出了统一的信息。该证明是组合性的，避免了局部熵平均与 CP-过程的工具，而是依赖于一个定量的离散 Marstrand 投影定理以及一个可能具有独立意义的子树正则性定理。