平面上 Furstenberg 集 packing 维数的一个改进界

设 $0 \leq s \leq 1$。若对每个单位向量 $e \in S^{1}$，存在某条平行于 $e$ 的直线 $L_{e}$ 满足 $$\dim_{\mathrm{H}} [K \cap L_{e}] \geq s,$$ 则称 $K \subset \mathbb{R}^{2}$ 为一个 Furstenberg $s$-集。Furstenberg 集问题由 T. Wolff 于 1999 年提出，旨在寻求 Furstenberg $s$-集维数的最佳下界。Wolff 证明了 $\dim_{\mathrm{H}} K \geq \max\{s + 1/2, 2s\}$，并猜想 $\dim_{\mathrm{H}} K \geq (1 + 3s)/2$。对 Wolff 界唯一已知的改进来自 Bourgain，他于 2003 年证明了对 Furstenberg $1/2$-集 $K$ 有 $\dim_{\mathrm{H}} K \geq 1 + \epsilon$，其中 $\epsilon > 0$ 是一个绝对常数。在本文中，我对所有 $1/2 < s < 1$ 证明了一个类似的 $\epsilon$-改进，但仅针对 packing 维数：对所有 Furstenberg $s$-集 $K \subset \mathbb{R}^{2}$ 有 $\dim_{\mathrm{p}} K \geq 2s + \epsilon$，其中 $\epsilon > 0$ 仅依赖于 $s$。该证明基于一个关于有限平面点集与宽度为 $\delta > 0$ 的管道的新的关联定理。作为该定理的另一个推论，我对 Kaufman 1968 年关于正交投影例外集维数的估计得到了一个小幅改进。即，我证明了若 $K \subset \mathbb{R}^{2}$ 是一个具有正长度的线性可测集，且 $1/2 < s < 1$，则 $$\dim_{\mathrm{H}} \{e \in S^{1} : \dim_{\mathrm{p}} \pi_{e}(K) \leq s\} \leq s - \epsilon$$ 对某个仅依赖于 $s$ 的 $\epsilon > 0$ 成立。这里 $\pi_{e}$ 是到由 $e$ 张成的直线上的正交投影。