抛物线上分形集的加法性质

设 $0 \leq s \leq 1$，并令 $\mathbb{P} := \{(t,t^{2}) \in \mathbb{R}^{2} : t \in [-1,1]\}$。若 $K \subset \mathbb{P}$ 是满足 $\dim_{\mathrm{H}} K = s$ 的闭集，则不难看到 $\dim_{\mathrm{H}} (K + K) \geq 2s$。本文的主要推论指出，若 $0 < s < 1$，则再将 $K$ 相加一次会使和集略大：$$\dim_{\mathrm{H}} (K + K + K) \geq 2s + \epsilon,$$ 其中 $\epsilon = \epsilon(s) > 0$。这一信息由 $\mathbb{P}$ 上 Frostman 测度的傅里叶变换的 $L^{6}$ 估计推出。若 $0 < s < 1$，且 $\mu$ 是 $\mathbb{P}$ 上满足对所有 $x \in \mathbb{P}$ 和 $r > 0$ 有 $\mu(B(x,r)) \leq r^{s}$ 的 Borel 测度，则存在 $\epsilon = \epsilon(s) > 0$ 使得对一切充分大的 $R \geq 1$ 有 $$\|\hat{\mu}\|_{L^{6}(B(R))}^{6} \leq R^{2 - (2s + \epsilon)}$$。证明基于归约到 $\delta$-离散点-圆关联问题，并最终归约到 $(s,2s)$-Furstenberg 集问题。