具有齐次符号的色散方程在分形上的逐点收敛性

我们研究了方程 $i\hbar\partial_tu + P(D)u = 0$ 的分形逐点收敛性，其中符号 $P$ 是实值、齐次且非奇异的。我们证明，对于初始数据 $f\in H^s(\mathbb{R}^n)$，当 $s>(n-\alpha+1)/2$ 时，解 $u$ 在 $\mathcal{H}^\alpha$ 几乎处处收敛到 $f$，其中 $\mathcal{H}^\alpha$ 是 $\alpha$ 维Hausdorff测度。我们根据 $P$ 的色散强度改进了这一结果。另一方面，对于一族多项式 $P$ 和给定的 $\alpha$，我们利用类Talbot效应构造初始数据，使其解 $u$ 在Hausdorff维数为 $\alpha$ 的集合上发散。为了计算发散集的维数，我们采用了来自丢番图逼近的质量转移原理。我们还为鞍点等二次符号构造了反例，以表明我们的正面结果有时是最优的。