周期薛定谔方程在分形集上的收敛性

我们考虑Carleson关于周期薛定谔方程解逐点收敛到其初值问题的分形精细化。对于$\alpha \in (0,d]$以及$$s < \frac{d}{2(d+1)} (d + 1 - \alpha),$$我们找到一个$H^s(\mathbb{T}^d)$中的函数，其对应解在$t \to 0$极限下在具有严格正$\alpha$-Hausdorff测度的集合上发散。我们猜想该正则性阈值是最优的。我们还证明$$s > \frac{d}{2(d+2)}\left( d+2-\alpha \right)$$足以使对应于$H^s(\mathbb T^d)$中每个初值的解$\alpha$-几乎处处收敛到该初值。