复时间薛定谔方程散度集的维数

本文研究一维空间中带复时间的分数阶薛定谔算子 $P^{t}_{a,\gamma}$ 的点态收敛性。通过建立初值属于 $H^{s}(\mathbb{R})$ 的 $L^2$-极大估计，我们看到当 $0<a<1$ 时解在 $s>\frac14 a(1-\frac1\gamma)_+$ 处几乎处处收敛到初值数据，而当 $a=1$ 时在 $s>\frac{1}{2}(1-\frac{1}{\gamma})_{+}$ 处几乎处处收敛。通过构造反例，我们表明该结果在端点意义下几乎是最优的。这些结果推广了 P. Sjölin、F. Soria 和 A. Baily 的结果。其次，我们通过建立关于一般 Borel 测度的某些 $L^1$-极大估计，研究散度点集的 Hausdorff 维数。我们的结果反映了由带复时间的分数阶薛定谔型算子 $P^{t}_{a,\gamma}$ 引起的色散效应与耗散效应之间的相互作用。