关于 Hunter-Saxton 方程一种数值方法的收敛速率

我们针对 Hunter-Saxton 方程 $\alpha$-耗散解的一种近期提出的数值方法（其中 $\alpha \in [0, 1]$）推导了稳健的误差估计。特别地，如果以下两个条件成立：i) 存在常数 $C > 0$ 和 $\beta \in (0, 1]$ 使得初始空间导数 $\bar{u}_{x}$ 满足 $\|\bar{u}_x(\cdot + h) - \bar{u}_x(\cdot)\|_2 \leq Ch^{\beta}$（对于所有 $h \in (0, 2]$），以及 ii) 初始能量测度的奇异连续部分为零，则数值波形在 $L^{\infty}(\mathbb{R})$ 中以 $O(\Delta x^{\frac{\beta}{8}})$ 阶收敛。此外，如果 $\alpha=0$，则无需上述假设，收敛速率提高至 $O(\Delta x^{\frac{1}{4}})$，并且我们还获得了相关能量测度的收敛速率——它在有界 Lipschitz 度量下以 $O(\Delta x^{\frac{1}{2}})$ 阶收敛。这些收敛速率通过几个例子进行了说明。