Hunter-Saxton 方程的长时间渐近行为

借助 Deift-Zhou 最速下降法的 $\bar{\partial}$ 推广,我们研究了 Hunter-Saxton (HS) 方程 Cauchy 问题解的长时间渐近性 \begin{eqnarray} &&u_{txx}-2\omega u_x+2u_xu_{xx}+uu_{xxx}=0,\quad x\in \mathbb{R},\ t>0,\nonumber\\ &&u(x,0)=u_0(x), \nonumber \end{eqnarray} 其中 $u_0\in H^{3,4}(\mathbb{R})$ 且 $\omega>0$ 为常数。利用新尺度 $(y,t)$ 以及对关联于该 Cauchy 问题的 Riemann-Hilbert 问题的一系列形变,我们得到了解 $u(x,t)$ 在两个时空区域中的长时间渐近近似:在区域 $y/t >0$ 中,HS 方程的解以 $\mathcal{O}(t^{-1/2})$ 的速度衰减;而在区域 $y/t<0$ 中,HS 方程的解由一个抛物柱面模型刻画,其残差误差阶为 $\mathcal{O}(t^{-1+\frac{1}{2p}})$,其中 $p>2$。