具有阶梯状初值的修正 Camassa-Holm 方程的长时渐近性

我们研究具有阶梯状初值的修正 Camassa-Holm (mCH) 方程 Cauchy 问题的长时渐近行为\n\begin{align} &m_{t}+\left(m\left(u^{2}-u_{x}^{2}\right)\right)_{x}=0, \quad m=u-u_{xx}, \nonumber \\ &u(x,0)=u_0(x)\to \left\{ \begin{array}{ll} A_1, &\ x\to+\infty,\[5pt] A_2, &\ x\to-\infty, \end{array}\right.\nonumber \end{align}\n其中 $A_1$ 和 $A_2$ 是两个正常数。我们的主要技术工具是将 Cauchy 问题表示为关联的矩阵 Riemann-Hilbert (RH) 问题，并对此 RH 问题进行后续的渐近分析。基于与 mCH 方程关联的 Lax 对和散射矩阵的谱分析，该阶梯状初值问题的解通过新尺度 $(y,t)$ 下 RH 问题的解来刻画。我们采用双坐标 $(\xi, c)$ 将半平面 $\{ (\xi,c): \xi \in \mathbb{R}, \ c> 0, \ \xi=y/t\}$ 划分为四个渐近区域。进一步利用 Deift-Zhou 最速下降法，通过选取不同的 g-函数，推导了解 $u(y,t)$ 在不同时空区域中的不同长时渐近展开。相应的主导渐近近似在 genus-0 区域给出具有慢/快衰减阶梯状背景波的波，在 genus-2 区域给出椭圆波。渐近的第二项由 Airy 函数或抛物柱面模型刻画，其残差误差阶分别为 $\mathcal{O}(t^{-1})$ 或 $\mathcal{O}(t^{-2})$。