具有阶梯状初值的导数非线性薛定谔方程的长时间渐近性

我们考虑 Gerdjikov-Ivanov (GI) 型导数非线性薛定谔 (DNLS) 方程的柯西问题：$$iq_t+q_{xx}-iq^2\bar{q}_x+\frac{1}{2}|q|^4{q}=0.$$ 其具有阶梯状初值：当 $x\le 0$ 时 $q(x,0)=0$，当 $x>0$ 时 $q(x,0)=Ae^{-2iBx}$，其中 $A>0$ 且 $B\in \R$ 为常数。本文旨在研究该问题解的长时间渐近性。我们表明，在半平面 $-\infty<x<\infty,t>0$ 中存在四个区域，其渐近性具有定性不同的形式：对于 $x>-4tB$ 为缓慢衰减的 Zakharov-Manakov 型自相似波；一个平面波区域：$x<-4t(B+\sqrt{2A^2(B+\frac{A^2}{4})})$；以及一个椭圆区域：$-4t(B+\sqrt{2A^2(B+\frac{A^2}{4})})<x<-4tB$。主要工具是对相关矩阵 Riemann-Hilbert 问题的渐近分析。