Gerdjikov-Ivanov 型导数非线性薛定谔方程：非零边界条件的长时间动力学

我们考虑线上的 Gerdjikov--Ivanov 型导数非线性薛定谔方程 \berr \ii q_{t}+q_{xx}-\ii q^2\bar{q}_{x}+\frac{1}{2}(|q|^4-q_0^4)q=0 \eerr。给定初值 $q(x,0)$，其在无穷远处满足对称的、非零边界条件，即 $q(x,0)\rightarrow q_\pm$ 当 $x\rightarrow\pm\infty$，且 $|q_\pm|=q_0>0$。本文的目标是研究该初值问题解当 $t\rightarrow\infty$ 时的渐近行为。主要工具是利用最速下降法和所谓的 $g$-函数机制对关联的矩阵 Riemann--Hilbert 问题进行渐近分析。我们证明该初值问题的解 $q(x,t)$ 在 $xt$ 平面的不同区域具有不同的渐近行为。在区域 $x<-2\sqrt{2}q_0^2t$ 和 $x>2\sqrt{2}q_0^2t$ 中，解呈平面波形式。在区域 $-2\sqrt{2}q_0^2t<x<2\sqrt{2}q_0^2t$ 中，解呈调制椭圆波形式。