非局部非线性薛定谔方程调制不稳定的渐近阶段

我们研究可积非局部非线性薛定谔(NNLS)方程 $$iq_{t}(x,t)+q_{xx}(x,t)+2 q^{2}(x,t)\bar{q}(-x,t)=0$$ 在对称边界条件 $q(x,t)\to Ae^{2iA^2t}$ (当 $x\to\pm\infty$,其中 $A>0$ 为任意常数)下的初值问题。我们通过计算该初值问题解 $q(x,t)$ 的大时间渐近来描述 NNLS 方程调制不稳定的渐近阶段。我们表明它表现出某种意义下非普适的行为:$|q(x,t)|$ 的渐近依赖于初值数据 $q(x,0)$ 的细节。这与局部经典 NLS 方程形成鲜明对比,后者解的长时渐近仅通过相位参数依赖于初值。本工作使用的主要工具是以矩阵 Riemann-Hilbert 问题形式应用的逆散射变换方法。与原初值问题相关的 Riemann-Hilbert 问题通过非线性最速下降法作渐近分析。