具有有限密度型初值的非局部非线性薛定谔方程的长时间渐近行为

本文中，我们采用 $\bar{\partial}$-最速下降方法研究加权 Sobolev 空间 $\mathcal{H}(\mathbb{R})$ 中具有有限密度型初值的非局部非线性薛定谔（NNLS）方程的柯西问题。基于 Lax 谱问题，构造了对应于原问题的黎曼-希尔伯特问题，以给出具有有限密度型初边值条件的 NNLS 方程的解。通过发展 Deift-Zhou 非线性最速下降方法的 $\bar{\partial}$-推广，我们推导了在时空孤子区域 $\left(\frac{x}{2t}\right)=\xi$ 中对于任意固定 $\xi\in (1,K)$（$K$ 为足够大的实常数）解 $q(x,t)$ 的领先阶近似，并给出了当 $|t|\rightarrow\infty$ 时误差衰减的界。基于所得渐近行为，NNLS 方程的渐近近似由离散谱上经 $N(\Lambda)$-孤子确认的孤子项以及连续谱上 $t^{-\frac{1}{2}}$ 阶项刻画，残差误差至多为 $O(t^{-\frac{3}{4}})$。