具有非零背景的散焦 NLS 方程：无孤子区域的大时间渐近性

我们考虑具有非零背景的散焦 Schrödinger（NLS）方程的 Cauchy 问题 $$\begin{align} &iq_t+q_{xx}-2(|q|^2-1)q=0, \nonumber\\ &q(x,0)=q_0(x), \quad \lim_{x \to \pm \infty}q_0(x)=\pm 1. \end{align}$$ 近来，对于时空区域 $|x/(2t)|<1$（这是一个跳轮廓上无驻相点的孤子区域），Cuccagna 和 Jenkins 利用 Deift-Zhou 非线性最速下降法的 $\bar{\partial}$ 推广，给出了 NLS 方程 $N$-孤子解的渐近稳定性。他们的大时间渐近展开形如 \begin{align} q(x,t)= T(\infty)^{-2} q^{sol,N}(x,t) + \mathcal{O}(t^{-1 })\label{res1} \end{align}，其首项为 N-孤子，第二项 $\mathcal{O}(t^{-1})$ 是来自 $\overline\partial$-方程的残差误差。在本文中，我们关注时空区域 $|x/(2t)|>1$ 中的大时间渐近性，该区域在孤子区域之外，但跳轮廓 $\mathbb{R}$ 上会出现两个驻点。我们发现了不同于(\ref{res1})的渐近展开 $$\begin{align} q(x,t)= e^{-i\alpha(\infty)} \left(1 +t^{-1/2} h(x,t) \right)+\mathcal{O}\left(t^{-3/4}\right)\label{res2} \end{align}$$，其首项为非零背景，第二项 $t^{-1/2}$ 阶项来自连续谱，第三项 $\mathcal{O}(t^{-3/4})$ 是来自 $\overline\partial$-方程的残差误差。上述两个渐近结果(\ref{res1})和(\ref{res2})意味着，Cuccagna 和 Jenkins 考虑的 region $|x/(2t)|<1$ 是快速衰减的孤子解区域，而我们考虑的 region $|x/(2t)|>1$ 是缓慢衰减的非零背景区域。