复三次 Camassa-Holm 方程的长时间渐近性

本文研究如下复三次 Camassa-Holm（ccCH）方程的 Cauchy 问题 m_t = b u_x + 1/2 [m(|u|^2 - |u_x|^2)]_x - 1/2 m(u \bar{u}_x - u_x \bar{u}), m = u - u_{xx}，其中 b>0 为任意正实数常数。通过 \bar{∂}-最速下降法获得该方程的长时间渐近性。首先，基于 Lax 对与散射矩阵的谱分析，该方程的解可通过求解相应的 Riemann-Hilbert（RH）问题来构造。然后，我们在 ξ=y/t 的不同时空孤子区域中给出解 u(y,t) 的不同长时间渐近展开。半平面 {(y,t): -∞ < y < ∞, t > 0} 被划分为四个渐近区域：ξ ∈ (-∞,-1)，ξ ∈ (-1,0)，ξ ∈ (0,1/8) 与 ξ ∈ (1/8,+∞)。当 ξ 落于 (-∞,-1)∪(1/8,+∞) 时，相位函数 θ(z) 在时空区域的跳跃轮廓上不存在驻相点。此情形下，相应的渐近近似可表征为具有不同残差阶 O(t^{-1+2ε}) 的 N(Λ)-孤子。当 ξ ∈ (-1,0) 与 ξ ∈ (0,1/8) 时，跳跃曲线上分别存在四个与八个驻相点。相应的渐近形式伴随残差阶 O(t^{-3/4})。