具有阶梯状振荡背景的聚焦 NLS 方程：亏格 3 区域

我们考虑聚焦非线性薛定谔方程的 Cauchy 问题，其初值当 $x\to\pm\infty$ 时分别趋于不同的平面波 $A_j\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi_j}\mathrm{e}^{-2\mathrm{i}B_jx}$，$j=1,2$。目标是依据 $\xi=x/t$ 的值确定解的长时渐近性。一般情形在 [7] 中已被分析，其中我们发展了 Riemann-Hilbert 方法并依据参数 $A_1$、$A_2$、$B_1$ 与 $B_2$ 之间的关系辨识出不同的渐近分析情形。特别地，在激波情形 $B_1<B_2$ 下，某些情形包含亏格 $3$ 区域，即 $\xi$ 的某些取值范围，其中渐近的主项由依附于亏格三 Riemann 曲面 $M(\xi)$ 的超椭圆函数给出。本文致力于该区域内的完整渐近分析。