具有阶梯状振荡背景的聚焦型非线性薛定谔方程：过渡区中的渐近性态

在最近的一篇论文中，我们给出了聚焦型非线性薛定谔方程解的长时间渐近性态的若干情形，其初数据在负无穷和正无穷处趋于两个不同的平面波 $A_j\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi_j}\mathrm{e}^{-2\mathrm{i}B_jx}$，$j=1,2$。在激波情形 $B_1<B_2$ 下，某些情形包含亏格 $3$ 的扇区，即扇区 $\xi_1<\xi<\xi_2$，$\xi:=\frac{x}{t}$，其中渐近性的首项用依附于亏格 $3$ 的黎曼曲面 $M(\xi)$ 的超椭圆函数表示。此类扇区中的长时间渐近分析在另一篇近期论文中完成。本文处理两个亏格 $3$ 扇区 $\xi_1<\xi<\xi_0$ 与 $\xi_0<\xi<\xi_2$ 之间过渡区中的渐近分析。首项用依附于亏格 $1$ 的黎曼曲面 $\tilde{M}$ 的椭圆函数表示。推导中的一个核心步骤是在两个合并分支点邻域内构造局部参数化。我们通过求解一个类似于与 Painlevé IV 方程相关的黎曼-希尔伯特问题的模型问题来构造此参数化。