含孤立子情形的 Ablowitz-Ladik 系统的长时间渐近行为

我们研究了具有离散加权 $\ell^2$ 空间初始数据的聚焦 Ablowitz-Ladik 系统中孤立子分解和 Painlevé 渐近行为。首先，我们建立了该初值问题的整体适定性，其可进一步 reformulate 为具有高阶极点的 Riemann-Hilbert 问题。利用 Fredholm 理论，由三个以原点为中心的圆组成的跳跃回路的 Riemann-Hilbert 问题被唯一求解。然后，通过对 Riemann-Hilbert 问题进行 $\bar{\partial}$-非线性最速下降法，我们在 $(n,t)$-半平面的不同时空区域中获得了聚焦 Ablowitz-Ladik 系统解的大时间渐近逼近。在扇区 $\{(n,t): n/(2t) < -M_0\}$ 和 $\{(n,t): n/(2t) > M_0\}$ 中（其中 $M_0$ 为正数），主导阶渐近行为由孤立子决定；而在扇区 $\{(n,t): |n/(2t) - 1| < M_0^{-1}\}$ 中，长时间渐近行为同时受孤立子和振荡的影响；在两个过渡区域 $\{(n,t): |n/(2t)+1|t^{2/3} < C\}$ 和 $\{(n,t): |n/(2t)-1|t^{2/3} < C\}$（$C$ 为正数）中，我们发现了可以用第二 Painlevé 超越函数表示的 Painlevé 型渐近行为。