低正则空间中耦合色散 AB 系统的长时间渐近行为

本文主要研究具有加权 Sobolev 初值的耦合色散 AB 系统解的长时间渐近行为，其允许通过 Dbar 最速下降法得到孤子解。基于 Lax 对的谱分析，将耦合色散 AB 系统的柯西问题转化为黎曼–希尔伯特问题，并利用消失引理证明其解的存在唯一性。驻相点在长时间渐近行为中起着重要作用。我们证明在任意固定时间锥 $\mathcal{C}\left(x_{1}, x_{2}, v_{1}, v_{2}\right)=\left\{(x, t) \in \mathbb{R}^{2} \mid x=x_{0}+v t, x_{0} \in\left[x_{1}, x_{2}\right], v \in\left[v_{1}, v_{2}\right]\right\}$ 中，耦合色散 AB 系统解的长时间渐近行为可由离散谱上的 $N(\mathcal{I})$ 个孤子、连续谱上的首项 $\mathcal{O}(t^{-1 / 2})$ 以及允许的残差 $\mathcal{O}(t^{-3 / 4})$ 表示。