关于径向截面的豪斯多夫维数

设 $t \in (1,2)$，并设 $B \subset \mathbb{R}^{2}$ 为满足 $\dim_{\mathrm{H}} B > t$ 的博雷尔集。我证明了对所有 $x \in \mathbb{R}^{2} \, \setminus \, E$，有 $$\mathcal{H}^{1}(\{e \in S^{1} : \dim_{\mathrm{H}} (B \cap \ell_{x,e}) \geq t - 1\}) > 0$$，其中 $\dim_{\mathrm{H}} E \leq 2 - t$。这是 $\dim_{\mathrm{H}} E$ 的锐界。主要技术工具是形如 $$\mathcal{I}_{\delta}(\mu,\nu) \lesssim_{t} \delta \cdot \sqrt{I_{t}(\mu)I_{3 - t}(\nu)}, \qquad t \in (1,2),$$ 的关联不等式，其中 $\mu$ 是 $\mathbb{R}^{2}$ 上的博雷尔测度，$\nu$ 是 $\mathbb{R}^{2}$ 中直线集上的博雷尔测度，$\mathcal{I}_{\delta}(\mu,\nu)$ 度量由 $\nu$ 参数化的直线与 $\mu$ 之间的 $\delta$-关联。该不等式可视为 Fu 和 Ren 近期关联定理的一个无 $\delta^{-\epsilon}$ 版本。本文的证明避开了高低频方法，以及 Fu 和 Ren 工作中导致 $\delta^{-\epsilon}$ 因子的尺度归纳方案。相反，该不等式由 X 射线变换的经典光滑化性质推导得出。