非线性横截非共形薄螺线的Hausdorff维数、填充维数及测度

我们将 B. Hasselblatt、J. Schmeling 在《双曲集的维数乘积结构》(2004) 中，以及第三作者与 K. Simon 在《螺线的Hausdorff测度与填充测度》(2003) 中，关于嵌入于 $\mathbb{R}^3$ 中、在稳定圆盘 $W^s$ 方向上非共形吸引的、圆上的 $C^{1+\varepsilon}$ 双曲(部分)线性螺线 $\Lambda$ 的结果，推广到非线性情形。在横截性假设以及对适当Gibbs测度的Lyapunov指数施加的所谓\emph{薄性}假设下，并假设存在不变的 $C^{1+\varepsilon}$ 强稳定叶层，我们证明对所有 $W^s$，Hausdorff维数 ${\rm HD}(\Lambda\cap W^s)$ 均为同一量 $t_0$，且此外 ${\rm HD}(\Lambda)=t_0+1$。我们还证明对填充测度有 $0<\Pi_{t_0}(\Lambda \cap W^s)<\infty$，但对Hausdorff测度有 ${\rm HM}_{t_0}(\Lambda\cap W^s)=0$ 对所有 $W^s$ 成立。同时 $0<\Pi_{1+t_0}(\Lambda) <\infty$ 且 ${\rm HM}_{1+t_0}(\Lambda)=0$。一个技术性的部分指出，沿不稳定叶层的全纯映射局部Lipschitz，除了一族不稳定叶的集合，其与每个 $W^s$ 的交的 ${\rm HM}_{t_0}$ 测度等于 0，甚至Hausdorff维数小于 $t_0$。后者源于一个大偏差现象。