$\mathbb{R}^{3}$ 中到平面的受限投影族的改进界

对 $e \in S^{2}$(即 $\mathbb{R}^3$ 中的单位球面),令 $\pi_{e}$ 为到 $e^{\perp} \subset \mathbb{R}^{3}$ 的正交投影,并令 $W \subset \mathbb{R}^{3}$ 为任意非子空间的 $2$-平面。我们证明,若 $K \subset \mathbb{R}^{3}$ 为 Borel 集且 $\dim_{\mathrm{H}} K \leq \tfrac{3}{2}$,则对 $\mathcal{H}^{1}$ 几乎处处的 $e \in S^{2} \cap W$ 有 $\dim_{\mathrm{H}} \pi_{e}(K) = \dim_{\mathrm{H}} K$,其中 $\mathcal{H}^{1}$ 表示一维 Hausdorff 测度,$\dim_{\mathrm{H}}$ 表示 Hausdorff 维数。此前 J"arvenp"a"a、J"arvenp"a"a、Ledrappier 与 Leikas 对 $\dim_{\mathrm{H}} K \leq 1$ 的 Borel 集 $K \subset \mathbb{R}^{3}$ 已知此结论。我们还对维数超过 $3/2$ 的集合证明了部分结果,改进了 D. Oberlin 与 R. Oberlin 早前的界。