分离方向上平面集的投影

首先，设 $K \subset B(0,1) \subset \mathbb{R}^{2}$ 为满足 $\mathcal{H}_{\infty}^{1}(K) \sim 1$ 的集合，并记 $\pi_{e}(K)$ 为 $K$ 到由 $e \in S^{1}$ 张成的直线上的正交投影。对 $1/2 \leq s < 1$，记 $$E_{s} := \{e : N(\pi_{e}(K),\delta) \leq \delta^{-s}\},$$ 其中 $N(A,r)$ 为集合 $A$ 的 $r$-覆盖数。众所周知——且本质上归功于 R. Kaufman——有 $N(E_{s},\delta) \lessapprox \delta^{-s}$。利用多项式方法，我证明了 $$N(E_{s},r) \lessapprox \min\left\{\delta^{-s}\left(\frac{\delta}{r}\right)^{1/2},r^{-1}\right\}, \quad \delta \leq r \leq 1.$$ 我构造了例子表明该界中的指数在 $\delta \leq r \leq \delta^{s}$ 范围内是紧的。第二个定理关于 $1$-阿赫福斯-戴维正则集的投影。给定 $A \geq 1$ 与 $1/2 \leq s < 1$。我证明，对足够大的 $p = p(A,s) \in \mathbb{N}$，单位向量的有限集 $S_{p} := \{e^{2\pi i k/p} : 0 \leq k < p\}$ 具有如下性质。若 $K \subset B(0,1)$ 非空且为正则常数至多为 $A$ 的 $1$-阿赫福斯-戴维正则集，则对所有足够小的 $\delta > 0$，有 $$\frac{1}{p} \sum_{e \in S_{p}} N(\pi_{e}(K),\delta) \geq \delta^{-s}.$$ 特别地，对某个 $e \in S_{p}$，$\overline{\dim}_{\text{B}} \pi_{e}(K) \geq s$。