面向不规则方向集的定量 Besicovitch 投影定理

经典的 Besicovitch 投影定理指出，若具有有限长度的平面集 $E$ 是纯不可求长的，则 $E$ 的几乎所有正交投影都具有零长度。我们证明该结果的一个定量版本：若 $E\subset\mathbb{R}^2$ 是 AD-正则的，且存在方向集 $G\subset \mathbb{S}^1$ 满足 $\mathcal{H}^1(G)\gtrsim 1$，使得对每个 $\theta\in G$ 都有 $\|\pi_\theta\mathcal{H}^1|_E\|_{L^{\infty}}\lesssim 1$，则 $E$ 的一大块可被 Lipschitz 图 $\Gamma$ 覆盖，且 $\mathrm{Lip}(\Gamma)\lesssim 1$。我们结果的主要新颖之处在于，良好方向集 $G$ 仅被假设为可测且在测度上较大，而此前此类结果要求 $G$ 为一段弧。作为推论，我们得到关于避免大方向集的 AD-正则集的结果，其意义在于它们所张成的方向集具有大的补集。它推广了如下简单观察：集 $E$ 包含于某个 Lipschitz 图中当且仅当 $E$ 所张方向集的补集包含一段弧。