Noetherian Leavitt 路径代数及其正则代数

以往的研究表明，域 $K$ 上图 $E$ 的 Leavitt 路径代数 $L(E)=L_K(E)$ 是左、右 Noetherian 的，当且仅当图 $E$ 是有限的且 $E$ 中没有带出口的圈。若 $Q(E)=Q_K(E)$ 表示 $L(E)$ 上的正则代数，我们证明这些条件还等价于以下任一条件：$L(E)$ 不包含无限个正交幂等元集，$L(E)$ 具有有限一致维数，$L(E)$ 是直接有限的，$Q(E)$ 是直接有限的，$Q(E)$ 是单位正则的，以及其他若干等价条件。此外，如果 $K$ 上的对合是正定的，则这些条件等价于：对合 $^\ast$ 从 $L(E)$ 扩展到 $Q(E)$，$Q(E)$ 是 $^\ast$-正则的，$Q(E)$ 是有限的，$Q(E)$ 是 $L(E)$ 的最大（全或经典）对称商环，每个有限生成的非奇异 $L(E)$-模都是投射模，且矩阵环 $M_n(L(E))$ 对所有 $n$ 都是强 Baer 环。Noetherian Leavitt 路径代数具有这些性质或许并不令人惊讶，但更有趣的事实是，这些性质仅在 Leavitt 路径代数是 Noetherian 时才成立。利用其中一些等价关系，我们具体描述了 Noetherian Leavitt 路径代数的有限生成投射模等价类幺半群的同构 $V(L(E))\rightarrow V(Q(E))$ 的逆映射。我们还证明了两个 Noetherian Leavitt 路径代数作为环同构当且仅当它们作为 $^\ast$-代数同构。这肯定地回答了 Noetherian Leavitt 路径代数类的同构猜想：若 $L_{\mathbb C}(E)$ 和 $L_{\mathbb C}(F)$ 是 Noetherian Leavitt 路径代数，则 $L_{\mathbb C}(E)\cong L_{\mathbb C}(F)$ 作为环蕴含 $C^*(E)\cong C^*(F)$ 作为 $^\ast$-代数。