Leavitt路代数之$K$-理论

设$E$为行有限箭图，$E_0$为$E$的顶点集；考虑邻接矩阵$N'_E=(n_{ij})\in\Z^{(E_0\times E_0)}$，其中n_{ij}=#\{从$i$到$j$的箭向$\}$。记$N^t_E$和单位矩阵$\in \Z^{(E_0\times E_0\setminus\Sink(E))}$为从$N'^t_E$和单位矩阵中移除对应于汇的列后得到的矩阵。我们考虑Leavitt代数$L_R(E)=L_\Z(E)\otimes R$的$K$-理论。我们证明：若$R$为Noetherian正则环或稳定$C^*$-代数，则存在正合序列（$n\in\Z$）$$K_n(R)^{(E_0\setminus\Sink(E))}\stackrel{1-N_E^t}{\longrightarrow} K_n(R)^{(E_0)}\to K_n(L_R(E))\to K_{n-1}(R)^{(E_0\setminus\Sink(E))}$$ 我们还证明：对于一般$R$，上述序列存在的障碍由扭曲的nil-$K$-群度量。若将$K$-理论替换为同伦代数$K$-理论，则障碍消失，并对任意环$R$得到长正合序列$$KH_n(R)^{(E_0\setminus\Sink(E))}\stackrel{1-N_E^t}{\longrightarrow}KH_n(R)^{(E_0)}\to KH_n(L_R(E))\to KH_{n-1}(R)^{(E_0\setminus\Sink(E))}$$ 此外，对于$C^*$-代数$\fA$，我们比较了$L_\fA(E)$的代数$K$-理论与Cuntz-Krieger代数$C^*_\fA(E)$的拓扑$K$-理论。我们证明：若$\fA$稳定且$n\in\Z$，则映射$$K_n(L_\fA(E))\to K^{\top}_n(C^*_\fA(E))$$ 为同构；若$\fA=\C$、$n\ge 0$、$E$有限且无汇、且$\det(1-N_E^t)\ne 0$，该映射亦为同构。