具有有界幂零指数的 Leavitt 路代数

本文完全从图论角度刻画了具有有界幂零指数的 Leavitt 路代数。我们证明：Leavitt 路代数 $L_{K}(E)$ 的幂零指数至多为 $n$，当且仅当图 $E$ 中不存在带出口的圈，且存在固定的正整数 $n$，使得终止于任意给定顶点 $v$ 的不同路径数（包含 $v$，但若 $v$ 位于圈 $c$ 上则不包含整个圈 $c$）小于或等于 $n$。有趣的是，具有有界幂零指数的 Leavitt 路代数恰好是那些满足多项式恒等式的代数。此外，我们证明具有有界幂零指数的 Leavitt 路代数是直接有限环，并且是 $\mathbb{Z}$-分次 $\Sigma$-$V$ 环。作为我们结果的应用，我们回答了 \cite{JST} 中提出的一个公开问题：交换 $\Sigma$-$V$ 环是否具有有界幂零指数。