Leavitt 路代数：分次直接有限性与分次 Σ-内射单模

本文给出了分次 Σ-V 环（即其上任意分次单模的任意拷贝直和均为分次内射的环）的 Leavitt 路代数的完整刻画。具体而言，我们证明：任意图 E 上的 Leavitt 路代数 L 是分次 Σ-V 环，当且仅当它是具有适当矩阵分次的、在 K 或 K[x,x^{-1}] 上具有有限多个非零元素的任意大小矩阵环的次直积。我们也得到了此类分次 Σ-V 环 L 的图形刻画。当图 E 有限时，我们证明 L 是分次 Σ-V 环 ⟺ L 是分次直接有限的 ⟺ L 具有有界幂零指数 ⟺ L 是分次半单的。例子表明，当图 E 无限时，前述陈述中这些性质的等价性不再成立。随后，我们也刻画了非分次 Σ-V 环的 Leavitt 路代数 L。我们探索了分次直接有限的分次环，并证明若 Leavitt 路代数 L 是分次 Σ-V 环，则 L 总是分次直接有限的。例子显示了分次与非分次直接有限环之间的细微差别。我们证明分次直接有限的 Leavitt 路代数是分次半单环的有向并。利用这一点，我们给出了 Vaš 关于直接有限 Leavitt 路代数定理的一个替代证明。