分次环与分次单位正则Leavitt路径代数的分次消去性质

我们提出以下关于群分次环的一般性问题：“若$P$是一个环论性质，如何以有意义的方式定义性质$P$的分次版本$P_{\operatorname{gr}}$？”某些环的性质具有直接且无歧义的分次推广，且这些推广满足非分次情形下所有对应的性质。若$P$为单位正则、具有稳定秩1或直有限，则情况并非如此。本文第一部分探讨此问题。在寻找适当的推广时，我们考虑了消去、内消去、替换以及模论直有限的分次版本。在论文第二部分，我们转向Leavitt路径代数。若$K$为平凡分次域且$E$为有向图，则Leavitt路径代数$L_K(E)$自然地按整数环分次。若$E$为有限图，我们给出$E$的一个性质，其等价于$L_K(E)$为分次单位正则。该性质关键依赖于到环的路径长度，使其区别于其他已知的刻画$L_K(E)$代数性质的图像条件。它也进一步说明，与我们第一部分所考虑的单位正则性的另一种推广相比，分次单位正则性颇具限制性。