支持 Kakeya 猜想的一些结果

Besicovitch 集是 $\R^d$ 的一个子集，其在每个方向上都包含一个单位线段，著名的 Kakeya 猜想指出 Besicovitch 集应具有满维数。我们在多种背景下提供了一系列支持该猜想的结果。我们的证明力求简洁，旨在赋予对该问题的直观感受。例如，我们给出了一个非常简单的证明，表明任何 Besicovitch 集的堆积维数和下盒计数维数至少为 $(d+1)/2$（文献中已有更好的估计）。我们还在 Baire 范畴的背景下研究了 Kakeya 猜想的“泛有效性”，并证明了典型的 Besicovitch 集具有满上盒计数维数。我们还研究了 Kakeya 问题的一个较弱版本，其中单位线段被半无限直线取代。我们证明了此类“半扩展 Besicovitch 集”具有满 Assouad 维数。这可被视为对 Kakeya 问题（一个极大弱化的版本）的完全解决。