$\mathbb{R}^3$ 中 Kakeya 集的 Assouad 维数

本文研究了 $\mathbb{R}^3$ 中 Kakeya 集的结构。我们证明，对于每个 Kakeya 集 $K\subset\mathbb{R}^3$，存在良好分离的尺度 $0<\delta<\rho\leq 1$，使得 $K$ 的 $\delta$ 邻域几乎与 $K$ 的 $\rho$ 邻域一样大。因此，$\mathbb{R}^3$ 中的每个 Kakeya 集都具有 Assouad 维数 3，并且 $\mathbb{R}^3$ 中的每个 Ahlfors-David 正则 Kakeya 集都具有 Hausdorff 维数 3。我们还证明，$\mathbb{R}^3$ 中每个具有“稳定相等”的 Hausdorff 维数和填充维数（这是一个新概念，引入它是为了避免某些明显的障碍）的 Kakeya 集，其 Hausdorff 维数必定为 3。上述结果源于三维空间中管和矩形棱柱排列的某些多尺度结构定理，以及作者先前证明的粘性 Kakeya 定理的一个温和推广。