关于水平线与 $SL(2)$ 线的 Kakeya 集的注记

我们考虑 $\mathbb{R}^{3}$ 中 $SL(2)$ 线的并。这些是具有形式 $$L = (a,b,0) + \mathrm{span}(c,d,1),$$ 其中 $ad - bc = 1$ 的直线。我们证明若 $\mathcal{L}$ 是一个 $SL(2)$ 线的 Kakeya 集，则其并 $\cup \mathcal{L}$ 的 Hausdorff 维数为 $3$。这回答了 Wang 与 Zahl 的一个问题。$SL(2)$ 线可等同于第一 Heisenberg 群中的水平线，我们将主结果作为关于水平线之并的更一般陈述的推论获得。该陈述通过 $\mathbb{R}^{3}$ 中水平线与锥线之间的点线对偶原理，结合 Gan、Guo、Guth、Harris、Maldague 与 Wang 近期关于到平面的受限投影族的工作而建立。我们的结果对与水平线相关的 Nikodym 集也有推论，回答了 Kim 问题的一个特例。