由直线与 $k$-平面构成的关节点及 Kakeya 型离散估计

设 $\mathcal{L}$ 为直线族，$\mathcal{P}$ 为 $\mathbb{F}^n$ 中 $k$-平面族，其中 $\mathbb{F}$ 为域。在我们的第一个结果中，我们证明由 $\mathcal{P}$ 中一个 $k$-平面与 $\mathcal{L}$ 中 $(n-k)$ 条直线构成的关节点数目为 $O_n(|\mathcal{L}||\mathcal{P}|^{1/(n-k)})$。这是涉及更高维仿射子空间的关节点的首个尖锐结果，且对任意域 $\mathbb{F}$ 成立。相比之下，我们的第二个结果在三维欧氏空间 $\mathbb{R}^3$ 中工作，并建立了 Kakeya 型估计 \begin{equation*}\sum_{x \in J} \left(\sum_{\ell \in \mathcal{L}} \chi_\ell(x)\right)^{3/2} \lesssim |\mathcal{L}|^{3/2}\end{equation*} 其中 $J$ 为 $\mathcal{L}$ 构成的关节点集合；此类估计在任意域的设置中不成立。该结果加强了对关节点的已知估计，包括那些计重数的估计。此外，我们的技术给出了该不等式准极值子的显著结构信息。