多重交点与一般交点的重合界

如果存在至少 $n$ 条属于有限直线集 $\mathfrak{L}$ 且过点 $x \in \mathbb{F}^n$ 的直线张成 $\mathbb{F}^n$，则称点 $x$ 为由 $\mathfrak{L}$ 形成的交点。已知由 $\mathfrak{L}$ 形成的交点数量约为 $\lesssim_n |\mathfrak{L}|^{\frac{n}{n-1}}$。如果存在至少 $n$ 条过点 $x \in \mathbb{F}^n$ 的直线（每条分别来自有限直线集 $\mathfrak{L}_1,\ldots,\mathfrak{L}_n$ 中的一个）张成 $\mathbb{F}^n$，则称点 $x$ 为由这些集合形成的多重交点。我们证明，对于任意域 $\mathbb{F}$ 且 $n=3$，以及对于 $\mathbb{F}=\mathbb{R}$ 且任意 $n \geq 3$，此类点的数量约为 $\lesssim_n (|\mathfrak{L}_1|\cdots |\mathfrak{L}_n|)^{\frac{1}{n-1}}$。此外，如果过点 $x \in \mathbb{F}^n$ 的 $\mathfrak{L}$ 中任意 $n$ 条直线都在该处形成一个交点，则称点 $x$ 为由有限直线集 $\mathfrak{L}$ 形成的一般交点。我们证明，对于 $\mathbb{F}=\mathbb{R}$ 且任意 $n \geq 3$，由 $\mathfrak{L}$ 形成的一般交点数量约为 $\lesssim_n \frac{|\mathfrak{L}|^{\frac{n}{n-1}}}{k^{\frac{n+1}{n-1}}}+\frac{|\mathfrak{L}|}{k}$，其中每个交点位于约 $k$ 条 $\mathfrak{L}$ 中的直线上。这一结果将 Guth 和 Katz 在 \cite{Guth_Katz_2010} 中提出的 $\mathbb{R}^3$ 中主要点线重合定理的一小部分推广到了所有维度。最后，我们将 $\mathbb{R}^n$ 中的结果推广到由实代数曲线形成的多重交点和一般交点的情形。