代数簇上的直线

若对每个一般点都存在有限条直线包含在 $X$ 中且通过该点，则称代数簇 $X$ 被直线覆盖。我证明两个定理。定理 1：设 $X^n\subset P^M$ 为一个被直线覆盖的簇，则通过 $X$ 的一般点至多有 $n!$ 条直线。定理 2：设 $X^n\subset P^{n+1}$ 为一个超曲面，且设 $x\in X$ 为一个一般点。若在 $x$ 处与 $X$ 有 $k$ 阶接触的直线集合的维数大于预期，则具有 $k$ 阶接触的直线实际上包含在 $X$ 中。