$\mathbb{R}^n$ 中直线的并集

我们证明了 D. Oberlin 关于 $\mathbb{R}^n$ 中直线并集维数的猜想。若 $d \geq 1$ 为整数，$0 \leq \beta \leq 1$，$L$ 为 $\mathbb{R}^n$ 中直线集合且其 Hausdorff 维数至少为 $2(d-1) + \beta$，则 $L$ 中直线的并集的 Hausdorff 维数至少为 $d + \beta$。我们的证明将 Carbery 与 Valdimarsson 的精细版多线性 Kakeya 定理与 Bourgain 和 Guth 的多线性到线性论证相结合。