Kakeya书与Kakeya集的投影

在此我们展示一些与Kakeya猜想相关的结果，该猜想称对任意整数 $n\geq 2$，在 $\mathbb{R}^n$ 中包含各个方向线段的集合具有满Hausdorff维数以及盒维数。我们在此证明了Kakeya书（即在线段位置上有某些限制的Kakeya集）具有满盒维数。我们还在此证明了Kakeya集的投影性质与Kakeya猜想之间的关系。如果对任意Kakeya集 $K\subset\mathbb{R}^n$，其在 $k\leq n$ 子空间上的正交投影的Hausdorff维数与方向无关，则Kakeya猜想成立。此外，逆命题也成立。