受限 Kakeya 集的 Hausdorff 维数

$\mathbb{R}^n$ 中的 Kakeya 集是指包含每个方向 $e \in S^{n-1}$ 上单位线段 $I_e$ 的紧致集。Kakeya 猜想指出，$\mathbb{R}^n$ 中的任何 Kakeya 集的 Hausdorff 维数为 $n$。我们考虑一种受限情况，即每条线段 $I_e$ 的中点必须属于固定集合 $A$，其中 $A$ 的 packing 维数最多为 $s \in [0, n]$。在这种情况下，我们证明了 Kakeya 集的 Hausdorff 维数至少为 $n - s$。此外，我们利用“ bush 论证”，改进了下界为 $\max \{ n - s, n - g_n(s)\}$，其中 $g_n(s)$ 定义为归纳定义。例如，当 $n = 4$ 时，我们证明了 Hausdorff 维数至少为 $\max\{\frac{19}{5} - \frac{3}{5}s,4-s\}$。我们也建立了这些结果的 Kakeya 最大函数类比结果。