关于测地线并集与不变集投影

设 $M$ 为 $d$ 维完备 Riemannian 流形，并设 $\pi: SM \to M$ 为从单位切丛到 $M$ 的典范投影。我们证明，如果 $E \subset SM$ 是在测地流下不变的集合，且其 Hausdorff 维数 $\dim_{\mathcal{H}} E \ge 2(k-1)+1 +\beta$（对于某整数 $1 \le k \le d-1$ 及某 $\beta \in [0,1]$），则投影 $\pi(E)$ 满足 $\dim_{\mathcal{H}} \pi(E) \ge k + \beta$。换言之，这给出了 $M$ 中测地线并集的 Hausdorff 维数下界。我们的定理推广了 J. Zahl 关于 $\mathbb{R}^d$ 中直线并集的一个结果。证明依赖于测地线的横截性质、一个适当的 $(k+1)$-线性弯曲 Kakeya 估计以及 Bourgain-Guth 论证。