投影例外集的算术结构

我们研究投影例外集的算术结构。对于任意有界子集$E\subset \mathbb{R}^d$，令$$\Omega=\{\xi\in \mathbb{R}: \dim_B(E+\xi E)=\dim_B E\}.$$ 我们证明要么$\Omega=\{0\}$要么$\Omega$是$\mathbb{R}$的一个子域。我们表明一般而言该命题对Hausdorff维数和下盒维数不成立。此外，对于任意$s\in (0, 1]$和序列$(r_k) \subset \mathbb{R}$，我们构造一个Ahlfors $s$-正则集$E\subset \mathbb{R}^2$，使得对于任意$r_k, k\in \mathbb{N}$，有$$\overline{\dim}_B \, \{x+r_k\, y: (x, y)\in E\} <s.$$