非线性切片维数的强例外参数

设定$1 \leq m < s \leq n$，且设$A \subseteq \mathbb{R}^n$为一个具有$s$维Hausdorff测度$\mathcal{H}^s(A) > 0$的Borel集。经典的Marstrand切片定理表明，对于几乎每个$m$维子空间$V \subset \mathbb{R}^n$，都存在一正比例集的$x \in V$，使得$x + V^\perp$与$A$相交的集合的Hausdorff维数为$s-m$。我们在Peres-Schlag框架下证明了Marstrand切片定理的强而量化版本。具体而言，如果$(\Pi_\lambda: \Omega \to \mathbb{R}^m)_{\lambda \in U}$是一族满足0度的横截性和强正则性条件的广义投影，那么对于每个$A \subseteq \Omega$且$\mathcal{H}^s(A) > 0$的集合，使得$\dim\!\big(A \cap \Pi_\lambda^{-1}(x)\big) < s-m$的$\lambda$在参数空间$U \subseteq \mathbb{R}^N$中的集合的Hausdorff维数至多为$N + m - s$。如果且$\mathcal{H}^s(A) < \infty$，则该异常集对$A$中具有正$s$维Hausdorff测度的子集是通用的，即该同一参数集合包含这些子集的所有相应异常集。如果$(\Pi_\lambda)_{\lambda \in U}$仅满足一定足够小的阶数$\beta > 0$的横截性和强正则性，那么类似结论在误差项$\beta^{1/3}$的范围内也成立。