切片集与测度，以及例外参数的维数

我们考虑用形如 $\pi_{\lambda}^{-1}\{t\}$ 的集合对紧致度量空间 $\Omega$ 进行切片的问题，其中映射 $\pi_{\lambda} \colon \Omega \to \R$，$\lambda \in \R$，是由 Yuval Peres 和 Wilhelm Schlag 于 2000 年引入的广义投影。基本问题是：假设 $\Omega$ 的 Hausdorff 维数严格大于 1，那么当参数 $\lambda$ 和 $t$ 变化时，“典型”切片 $\pi_{\lambda}^{-1}{t}$ 的维数是多少。在映射 $\pi_{\lambda}$ 为限制在紧致集 $\Omega \subset \R^{2}$ 上的正交投影这一特殊情形下，该问题可追溯到 Marstrand 1954 年的一篇论文：他证明了对于几乎所有 $\lambda$，存在正多的 $t \in \R$ 使得 $\dim \pi_{\lambda}^{-1}{t} = \dim \Omega - 1$。对于广义投影，50 年后 Järvenpää、Järvenpää 和 Niemelä 得到了相同的结果。在本文中，我们将“几乎所有 $\lambda$”这一表述替换为对例外参数维数的精确界，从而改进了已有的估计。