通过近似低维空间嵌入逼近低秩图中的最稀疏割

我们考虑将满足 $\ell_2^2$ 三角不等式且近似低维的有限点集 $\{x_1, \ldots, x_n\} \in \mathbb{R}^d$ 嵌入到 $\ell_1$ 空间的问题。Goemans（未发表，见于 [Magen and Moharammi, 2008] 的工作）证明了，位于恰好 $d$ 维空间的此类点可以以至多 $\sqrt{d}$ 的失真嵌入到 $\ell_1$ 中。我们证明了该陈述的下述鲁棒类比：如果存在一个 $r$ 维子空间 $\Pi$，使得点在该子空间上的投影满足 $\sum_{i,j \in [n]}\Vert \Pi x_i - \Pi x_j \Vert _2^2 \geq \Omega(1) \sum_{i,j \in [n]}\Vert x_i - x_j \Vert _2^2$，则存在一个将这些点嵌入到 $\ell_1$ 的方法，其平均失真为 $O(\sqrt{r})$。该结果的一个推论是，对于拉普拉斯矩阵的第 $r$ 个最小归一化特征值满足 $\lambda_r(G)/n \geq \Omega(1)\Phi_{SDP} (G)$ 的图 $G$，著名的 Goemans-Linial 半定规划松弛在均匀最稀疏割问题上的完整性间隙为 $O(\sqrt{r})$。我们的结果改进了先前在相同前提条件下由 [Deshpande and Venkat, 2014] 和 [Deshpande, Harsha and Venkat, 2016] 的工作所证明的平均失真 $O(r)$ 以及 Goemans-Linial 半定规划的完整性间隙的已知界限。