运输成本空间$L_1$畸变的下界估计

量化有限度量空间上两个概率分布之间的相异程度是计算机科学和计算机视觉中的一项基本任务。基于最优传输的一种自然相异度度量是推土机距离(EMD)。分析该度量的一个关键技术，由Charikar(2002)以及Indyk和Thaper(2003)开创，涉及将EMD(X)低畸变嵌入到勒贝格空间$L_1$中。研究对于已知允许低畸变嵌入到$L_1$中的重要度量空间类别，其上界$O(\log n)$能否被改进，已成为一个关键问题。在计算机视觉背景下，网格图，尤其是平面网格，是最基础的。Indyk提出了估计$R^2$中$n$点子集上均匀分布空间的$L_1$畸变的相关问题。截至2011年8月的进展报告强调了两个关键结果：首先，Khot和Naor(2006)关于汉明立方体的工作表明，汉明立方体的$L_1$畸变达到了上述上界估计；其次，Naor和Schechtman(2007)关于平面网格的结果确立了平面$n \times n$网格的$L_1$畸变为$\Omega(\sqrt{\log n})$。我们的第一个结果是将网格的$L_1$畸变下界改进为$\Omega(\log n)$，与通用上界匹配至乘法常数。使我们能够获得这些精确估计的关键要素是网格图上标量值函数的一个新的索博列夫型不等式。我们的方法也适用于许多递归图族，例如菱形图和拉克斯图。在这些情况下，我们也获得了$\log n$的精确畸变估计。