平移下地球移动距离的细粒度复杂度

地球移动距离（Earth Mover's Distance）是计算机科学多个分支中常用的相似性度量，用于衡量两个点集之间完美匹配的最小总边长。平移下的地球移动距离（$\mathrm{EMDuT}$）是其平移不变版本，通过对一个点集的所有平移最小化地球移动距离而得到。对于 $\mathbb{R}^1$ 中的 $\mathrm{EMDuT}$，我们提出了一种 $\tilde{\mathcal{O}}(n^2)$ 时间算法。我们还通过基于正交向量假设（Orthogonal Vectors Hypothesis）的匹配条件下界，证明了该算法几乎是优的。对于 $\mathbb{R}^d$ 中的 $\mathrm{EMDuT}$，我们针对 $L_1$ 和 $L_\infty$ 度量提出了一种 $\tilde{\mathcal{O}}(n^{2d+2})$ 时间算法。我们证明了这种对 $d$ 的依赖性是渐近紧的，因为若存在针对 $L_1$ 或 $L_\infty$ 的 $n^{o(d)}$ 时间算法，将与指数时间假设（ETH）相矛盾。在我们之前，这些问题仅已知近似算法。