地球移动者单形的 Cayley-Menger 公式

地球移动者距离（EMD）是直方图空间上著名的度量；粗略地说，EMD 衡量使两个直方图相等所需的最小工作量。EMD 有一种比较任意数量直方图的自然推广；此时，EMD 可视为 $d$ 维中的超体积，其中直方图为一个 $d$-单形的顶点。对于 $d=2$，已知三个直方图间的 EMD 等于两两 EMD 之和的一半——一种直方图的类海伦公式，但其中面积等于半周长。本文通过引入我们称之为地球移动者单形的对象，证明了任意维下该类海伦公式的两个推广：第一个（一种 Cayley-Menger 公式）用边长（两两 EMD）表示 EMD，第二个用面（排除一个直方图的 EMD）表示 EMD。