通过杨图比较加权差与推土机距离

我们考虑直方图对上的两种自然统计量，其中 $n$ 个箱子具有权重 $0, \ldots, n-1$。直方图加权总和之间的差（$\mathbf{D}$）在某种意义上被推土机距离（$\mathbf{EMD}$）所细化，后者衡量使直方图相等所需的工作量。然而，我们最近惊讶地发现，在某些真实应用中 $\mathbf{EMD}$ 对 $\mathbf{D}$ 的细化实际上极少，这引出了本文的主要问题：$\mathbf{EMD} = |\mathbf{D}|$ 的概率为何？我们通过杨图与平面分拆的组合数学推导了该概率的公式，以及 $|\mathbf{D}|$ 的期望值。随后我们将结果推广到任意数量的直方图，并将这种高维 $\mathbf{D}$ 实现为 A 型根格上的距离。