广义地力距离的期望值与 Cayley-Menger 类型公式

地力距离（EMD），亦称 1- Wasserstein 度量，衡量将一种概率分布转化为另一种概率分布所需的最小工作量。EMD 可自然推广以衡量任意数量（记为 $d$）的分布之间的“距离”。在之前的工作（2021 年）中，我们发现，假设在标准 $n$ 单形上均匀分布时，广义 EMD 的期望值存在递推公式。但该递推计算昂贵，需进行 $\binom{d+n}{d}$ 次迭代。本文的主要结果是给出该期望值的非递推公式，表述为某一次数至多为 $dn$ 的多项式的积分。作为次要结果，我们解决了一个未解之谜，给出以两两 EMD 表示的广义 EMD 的公式；这可视为 Cayley-Menger 行列式公式的类比，即该公式以边长给出单形的体积。