唯一游戏猜想、割问题的积分间隙以及负型度量到 $\ell_1$ 的可嵌入性

在本文中，我们反驳了 Goemans 和 Linial 的一个猜想，即每个负型度量都以常数失真嵌入到 $\ell_1$ 中。我们证明，对于任意小的常数 $\delta> 0$，当 $n$ 足够大时，存在一个 $n$ 点负型度量，其嵌入到 $\ell_1$ 所需的失真度至少为 $(\log\log n)^{1/6-\delta}$。令人惊讶的是，我们的构造受到了 Khot 的唯一游戏猜想（UGC）的启发，建立了概率可验证证明系统（PCPs）与度量嵌入理论之间此前未被察觉的联系。我们首先证明 UGC 意味着（非均匀）稀疏割（Sparsest Cut）问题具有超常数难度的结果。尽管这一难度结果依赖于 UGC，但我们表明，相应的 PCP 归约可用于构造稀疏割问题的“积分间隙实例”。为此，我们首先为唯一游戏的一个自然 SDP 松弛构造了一个积分间隙实例。然后，我们“模拟”PCP 归约，并将唯一游戏的积分间隙实例“转化”为稀疏割的积分间隙实例。这使我们能够证明稀疏割存在 $(\log \log n)^{1/6-\delta}$ 的积分间隙，已知这等价于度量嵌入的下界。