一个与唯一游戏猜想相关的周期等周问题

我们证明了 Khot 和 Moshkovitz 提出的与唯一游戏猜想相关的一个猜想的端点情形，仅差一个小误差。设 $n\geq2$。假设 $n$ 维欧几里得空间 $\mathbb{R}^{n}$ 的子集 $\Omega$ 满足 $-\Omega=\Omega^{c}$ 且对于每个标准基向量 $v\in\mathbb{R}^{n}$ 满足 $\Omega+v=\Omega^{c}$（至多相差零测度集）。对于任意 $x=(x_{1},\ldots,x_{n})\in\mathbb{R}^{n}$ 及任意 $q\geq1$，设 $\|x\|_{q}^{q}=|x_{1}|^{q}+\cdots+|x_{n}|^{q}$，并设 $\gamma_{n}(x)=(2\pi)^{-n/2}e^{-\|x\|_{2}^{2}/2}$。对于任意 $x\in\partial\Omega$，设 $N(x)$ 表示在 $x$ 处的单位外法向量，即 $\|N(x)\|_{2}=1$。设 $B=\{x\in\mathbb{R}^{n}\colon \sin(\pi(x_{1}+\cdots+x_{n}))\geq0\}$。我们的主要结果表明，除一个小误差外，$B$ 在所有满足上述条件的子集 $\Omega$ 中具有最小的高斯表面积：\n$$\int_{\partial\Omega}\gamma_{n}(x)dx\geq(1-6\cdot 10^{-9})\int_{\partial B}\gamma_{n}(x)dx+\int_{\partial\Omega}\Big(1-\frac{\|N(x)\|_{1}}{\sqrt{n}}\Big)\gamma_{n}(x)dx.$$\n特别地，\n$$\int_{\partial\Omega}\gamma_{n}(x)dx\geq(1-6\cdot 10^{-9})\int_{\partial B}\gamma_{n}(x)dx.$$\n标准论证可将这些结果推广至关于噪声稳定性的相应弱不等式。去除因子 $6\cdot 10^{-9}$ 即可证明 Khot-Moshkovitz 猜想的端点情形。最后，我们证明了 Khot 和 Moshkovitz 猜想的一个欧几里得类比。Khot 和 Moshkovitz 的完整猜想为唯一游戏猜想（理论计算机科学中与 P vs NP 问题密切相关的一个核心猜想）的真实性提供了强有力的证据。因此，我们的结果也为唯一游戏猜想的真实性提供了证据。尽管如此，本文并未证明唯一游戏猜想的任何情形。